206

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬПЛ И поля

Док аз а т ел ь ст в о. Поле Р изоморфно и с сохранением порядка

отображается на расположенное поле Q, содержащее поле рацио-

нальных чисел. Так как Р архимедовски расположено. то то же

верно для Q. Для поля Q теорема получается попутно при доказатель-

стве теоремы 2, если заменить там D1 на Q, так как везде, кроме

последнего абзаца доказательства, мы не пользовались полнотой

тюля ГЛ. В силу изоморфизма Р и Q теорема З верна также для

поля р.

Итак, если поле действительных чисел D существует, то только

одно (до изоморфизма).

Переходим к доказательству его существования. Как и в случае

целых и рациональных чисел, достаточно построить одно поле (одну

интерпретацию поля), удовлетворяющее определению 1.

Существует несколько приёмов построения такого поля. Мы

приведём построение Кантора.

Конструкция одного из изоморфных полей действительных чи-

сел подсказывается теоремой 1. Если D — искомое поле, то каждый

элемент поля D равен пределу фундаментальной последовательности

рациональных чисел, и любая такая последовательность должна иметь

предел в D в силу непрерывности поля.

За исходный элемент построения поля действительных чисел D

мы принимаем фундаментальную последовательность рациональных

т. е. последовательность, обладающую

чисел 01, аз, .

таким свойством: для любого рационального числа существует

натуральное число по такое, что а

а (1 К е при любых р и q,

б(5льших по (S 24, определение 4). Пусть М— множество всех таких

последовательностей. Определяем отношение эквивалентности, сло-

жение и умножение последовательностей из М так, чтобы им соот-

ветствовали равенство, сложение и умножение элементов искомого

боля Ц равных пределам этих последовательностей [5 24, теорема 2,

а), б), вм, а именно,

тогда и только тогда, когда

lim (ап

— адЬп

(1)

(2)

(3)

Надо, конечно. доказать, что (2) и (З) действительно определяют

операции во множестве М, т. е. что последовательности в правых

частях этих равенств снова являются фундаментальными.

В случае сложения берём рациональное число 0. Так

и { } фундаментальны, то существуют натуральные