203

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Т е о р ем а 1. Расположенное поле Р, поае рацио-

нальных чисел Г 1), архшиеДовски расположено тогда и то.аысо

тогда, когда каждый элемент поля р равен пределу последова-

тельности рациональных чисел.

Доказа тел ь ст во. а) Пусть элемент а поля Р равен пре-

делу последовательности рациональных чисел {ап}. Тогда сущест-

вует К такое, что 1 ак—аК1, откуда

— (а — ак) а акј ак I 1-4— ак

a

Так как 1 ак 1— рациональное число и поле рациональных чисел

архимедовски расположено, то существует натуральное число п

такое, что А- ' аи l

расположено (S 10, Xl').

б) Пусть поле Р архимедовски расположено. Тогда для любого

элемента а из Р и любого натурального числа п существуют нату-

ральные числа и т, такие, что

откуда (— т2) • - - Следовательно множество А тех целых

чисел l, для которых [ • —<а, ограничено сверху числом тт и

непусто, ибо содержит целое число — Поэтому множество А

содержит наибольшее число 11l (S 21, теорема 5). Тогда, очевидно,

из обеих частей неравенства, найдём:

Вычтя

Щ и покажем, что 1im Для

0 а— . Положим

, откуда

любого из Р существует натуральное по

а

в поле р.

при любом п >по. Это и значит, что 1im ап

Т е о рем а 2. Все поля Действительных чисел изоморфны, т. е.

поле Действительных чисел определено однозначно до изоморфизма.

Точнее, если Г-)1 и ГД — два поля Действительных чисел, то суще-

ствует только одно изоморфное отображение на [Д, сохра-

няющее отношения порядка. При этом изоморфизме рациональ-

ные числа остаются на жесте. В частности, существует только

одно изоморфное отображение поля Действительных чисел на

себя, отношения порядка, а именно т.ожДественное.

(В силу теоремы 2 из S 23 данная теорема остаётся справедливой

1) Условие Р э Г можно здесь и ниже опустить, заменив рациональные

числа на рациональные элементы поля (S 22, теорема 2).