194

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА. ГРУППЫ, КОЛЬПА И ПОЛЯ

До каза т ел ь ст во. а) Пусть, например, последовательность

п Тогда для любого из Р су-

{ап} сходится, причем 1im а

при

ществуют натуральные числа такие, что ап

боль-

любом п и lan— при любом Если по—

шее из чисел 111 и 112, то

Таким образом,

lim Ьп lim а п.

Второе утверждение пункта а) следует из пункта б).

Пусть теперь последовательности {ап} и {b-n\ сходятся, причём

п и lim bn—b.

lim а

б) для любого существуют натуральные числа и

такие, что при любом п и при лю-

— большее

бом п Если по

п>по будет:

Таким образом,

из чисел и 122, то при любом

lim (ап ь п) а Ь lim bn.

в) Сначала покажем, что сходящаяся последовательность {ап}

то существует р

ограничена (см. определение 2). Так как lim ап

такое, что при любом п». Тогда

при п>р. Среди конечной совокупности элементов lat а, 1,

.. , 1 а 1, -}-la поля Р существует наибольший элемент а' (5 5, тео-

рема К). Если положим 1, то с» и для всех п.

Далее, берём любой элемент Ь 1, например 1-

и lim то для лю-

Тогда, очевидно, d>O. Так как lim ап

бого из Р существуют 'натуральные числа и 122 такие, что

при любом п>П1 и при любом п >п2.

Если — большее из чисел и 112, то

апЬ) -3— (апЬ — ab) <

— ab (апЬп

—lanl

апЬ -4- апЬ — ab —

апЬ„