ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

207

aql при любых р, q и

числа и п, такие, что ] а

— большее из чи-

bp— при любых р, q>n,. Если по

сел пт, пе, то

(ар -1- ьр)— (aq+b

{ } — фунда-

при любых р, по , т. е. последовательность а

ментальная.

В случае умножения сначала докажем, что любая фундаменталь-

сп} ограничена (5 24, определение 2).

ная последовательность

— cql

В самом деле существует по такое, что с

р, по. Тогда

— спо+1 Н-

— + Спо+1

при любом П>По. Беря рациональное число с, большее всех чисел

cnol, 1 спо-н ' -4-1 (например, сумму всех этих чисел

плюс 1), получим lcnl

Итак, существуют рациональные числа а и Ь такие. что ап

и lbn при любом п. Пусть дано рациональное число

Существуют натуральные числа и п, такие, что а

при любых р, и Е— при любых р, Если

— большее из чисел 121, то

I (арЬр — apbq) —1— (apbq — aqbq) <

арЬр — aqbq _

при любых р, по, т. е. последовательность { апЬп — фундамен-

тальная.

из М назовём положительной, если

Последовательность а

существуют рациональное число и натуральное число по такие,

что ап>е при любом п>по.

Отношение эквивалентности последовательностей (1) обладает

основными свойствами равенства (5 19). Именно:

ибо lim

ап Ь ибо если lim (ап — Ь ) О

Ьп ТО }

2) Если { ап

то lim в силу ап— п

} ибо если

1 Ьп}и Ьп}

3) Если

то а ст '

1im (ап и lim то также

lim (ап — сп) 1im Кап — ь п) -4— (ь п — сп)] ¯

lim (ап — Ьп) -1— lim (bn —

[5 24, теорема 2, 6)].