ограничена ни сверху, ни снизу, а 2, 3, 5 ограничены.

Следующее понятие является одним из основных понятий всей

математики.

Определ е ние З. Элемент а поля Р называется пределом

последовательности 1ап} элементов Р, если для любого положи-

тельного элемента Е из Р существует (зависящее от Е) натураль-

ное число по такое, что lan—a для любого п>по. Пишут:

1im ап («предел ап при п, стремящемся к бесконечности») или

просто ап («предел ап»)- Последовательноспљ {ап}, имеющая

предел а, называется сходящейся к а или просто сходящейся.

Последовательность, не имеющая предела (в Р), называется рас-

ходящейся.

Из приведённых выше последовательностей только две сходятся:

последовательность 2 к числу О и последовательность 5 к числу 2.

В самом деле, для последовательности 2 имеем:

для последовательности 5 также

—2l

1

1

Но по аксиоме Архимеда для поля рациональных чисел (S 23, тео-

рема З) для любого рационального существует натуральное

по>—. Тогда — для любого п>по.

Последовательность З расходится. Правда, для любого

и любого по найдётся п'>по такое, что и

такое, что ап„— 1 но для 1 не существует такого по,

чтобы одно из указанных неравенств выполнялось для любого п >

В самом деле, если, например, 1, то

И lart+1

Следовательно, апн

Понятие предела последовательности сходно с понятием алгеб-

раической операции (S б, определение 1). Там упорядоченной паре

элементов, а здесь упорядоченной по типу множества натуральных

чисел 11, 2, З, системе элементов соответствует некоторый

элемент того же множества. Поэтому иногда говорят об «операции