ПОЛЕ ЧИСЕЛ
193
предельного перехода». Разумеется, это уже не алгебраическая опе-
рация в смысле определения 1 из S 6.
Возникает вопрос о выполнимости и однозначности операции
предельного перехода. Что не всякая последовательность имеет про-
дел, мы уже видели на примере последовательности З. Вопрос об
единственности предела решается утвердительно. Именно:
Т е о р е м а 1. Если последовательность элементов поля Р
имеет предел, то только один.
Доказательство. Пусть и Ь 76: а. Покажем, что
Ь уже не будет пределом нашей последовательноёти. Наглядное
представление говорит, что элементы а п, приближаясь к а,
для больших номеров от Ь. Формально это доказывается так. Так
как а $ Ь, то и
Если также то
2
la—bl
существуют натуральные числа и такие, что
2
la—bl
при любом п>П1 и 1
при любом п>П2.
2
Если по — большее из чисел и то при п>по получим:
la—bl
la—bl
2
т. е. a—bl, что невозможно.
Отложив пока вопрос об условиях существования предела, Haii-
Дём некоторые свойства операции предельного перехода в случае
её выполнимости.
Теорема 2. а) Если одна из последовательностей {ап} и {Ьп}
элементов поля Р сходится и если lim (ап — то и Дру2ая
последовательность сходится, причёл lim ап Ьп-
Обратно, если обе последовательности сходятся и если 1im а
п
Ьп, то 1im (ап
Далее, если последовательности {ап} и *bn} из Р сходятся, то
б) 1im (ап bn) ап ±lim Ъп•,
В) lim (ап • lim ап • lim Ьп;
1im ап
а
г) lim
ь-п¯ lim bn
при условии, что lim ь п О и ь п # О при любом п.
Сходимость последовательностей в левых частях равенств б),
в), г) не предполагается, а следует из сходимости последователь-
ностей {ап} Н {Ьп}.
д) Если 1im lim bn, то существует элемент ф О из Р
и натуральное число по такие, что ап — ури любом п>по.
Если существует натуральное число по такое, что ав—- п при
любом п>по, то lim an>lim Ьп-
13 Эндикдопедия, кн. 1.