ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

при любом п Таким образом,

1im (апЬп) ап • lim bn.

195

г) Сначала докажем, что при условии lim О существует

lbl

натуральное число п, такое, что lbn при любом п Су-

ществует натуральное число р такое, что lbn—b при любом

п Если бы доказываемое утверждение было неверно, то для

числа р нашлось бы число такое, что ] Ь -. Тогда

т. е. 1 Ь 1, что невозможно. Последовательность {ап} сходится,

а потому ограничена, т. е. существует элемент из Р такой,

что lanl

Наконец, из lim а

п и lim следует, что для любого

из Р существуют натуральные числа п2 и такие, что

при любом п и lbn—b при любом

2

п>пз (ибо для Ь * О всегда b2

Ь О). Пусть по — наибольшее

из чисел п], п, и Яз. Тогда

апЬ — bna

] (апЬ — апЬп) -1- (апЬп — bna)

' а Ь—апЬпГ

bnb

bnb

с

bnbl

'anlP—bnI

2

,bllbnl

lbl

lbl

-rlbl

при любом п>по. Таким образом,

1im ап

а

1im

Ь 1im bn•

д) Пусть a>b. Берём

Существуют натуральные

з

числа п, и п, такие, что ап—а при любом п>п, и

при любом п >п,. Пусть по— большее из чисел и 112. Если при

некотором п>по будет ап то для такого п найдём:

что невозможно. Стало быть, ап — Ьп>Е при .чюбом п>по. Пусть,

обратно, при любом п>по. Если бы было а Ь, то по

_SE>o

доказанному существовали бы и пт такие, что bn

при любом Беря любое п больше как по , так и п, , получим:

ап>Ьп и а п, что невозможно. Следова тельно, а Теорема

доказана.