ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

187

ков MN и АВ. Если отрезки АВ и MN соизмеримы, то имеется

их общая мера CD, содержащаяся р раз в MN и q раз в АВ. Тогда

МЛ/:АВ— Р

— число рациональное. Обратно, если отношение

= — — рационально, то делим отрезок АВ на q частей

(одна из них р раз уложится в MN), следовательно NIN и АВ

будут Из геометрии известно, что существуют несо-

измеримые отрезки. Так, диагона,рь квадрата несоизмерима с его сто-

роной. Приняв стороны квадрата за единицу измерения отрезков,

мы не можем выразить длину его диагонали никаким рациональным

числом.

Рациональных чисел недостаточно также для извлечения корней

из положительных рациональных чисел и даже из натуральных чисел.

В самом деле, если, например, р— простое число, п— натуральное

число, большее единицы, то р не может равняться рациональному

с натуральными q, r (если для чётного п

числу. Иначе,

взять положительное значение корня). Тогда р

и

рР qn•

(4)

Если в разложении числа q на простые множители р встре-

чается а раз, а в разложении числа r встречается Ь раз, то в ле-

вой части равенства (4) р войдёт множителем па—Е 1, а в правой

части —пЬ раз. Но па-4- 1 -д пЬ, так как второе число делится на

п, а первое не делится. Таким образом, в разложении на простые

множители левой и правой частей равенства (4) простое число р

входит неодинаковое число раз, что противоречит однозначности

разложения натурального числа на простые множители 1).

В следующей главе мы займемся расширением поля рациональ-

ных чисел до поля действительных чисел, в котором измерение от-

резков и извлечение корня из положительного числа дают точный

результат.

1) См. статью А. Я. Хинчина.