184

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

натурального п также

и

. —е+...+е=пе

(0 слева— число, а справа — элемент Q). Итак, п пе для любого

целого п. А тогда для любого рационального а ==—

также а —

Таким образом, П' совпадет с П, и любой изо-

морфизм между Г и П совпадает с изоморфизмом а ае.

Так как поле Q содержит подполе П, изоморфное Г, то оно

изоморфно полю Р, содержащему подполе Г и полученному из Q

путём замены элементов П соответствующими им числами из Г

(S 9, теорема 2). При этом любой изоморфизм Р и Q должен

сохранять данный изоморфизм Г и П, так как Г только одним

способом изоморфно отображается в П.

Если поле Q расположено и —любое изоморфное ото-

бражение Р на Q, то, считая элемент х из Р положительным, если

соответствующий ему элемент из Q положителен, получим,

как легко видеть, расположение поля Р, причём изоморфизм f

сохраняет отношения порядка. Теорема доказана.

Эта теорема показывает, что поле рациональных чисел в извест-

ном смысле является минимальным среди всех полей характеристики

нуль. Именно, если изучать поля лишь с точностью до изоморфизма,

то можно сказать, что любое поле характеристики нуль содержит

в качестве подполя поле рациональных чисел.

Т е ор е ма З. Поле Г ращюнальных чисел архимедовски рас-

положено (при единственно возможном его расположении).

Доказатель ст во. Для выполнения аксиомы Архимеда в Г,

как и в любом расположенном поле, достаточно, чтобы для любого

числа с существовало натуральное число п, большее с. В самом

деле, тогда для любых а и Ь, где Ь существует п>—, и,

умножая на Ь, получим а.

Пусть а— любое рациональное число. Если а 40, то

для любого натурального п. Если а то его можно представить

дробью а —

, где К и натуральные числа, ибо по теореме 1

КО 0, т. е. К и I одного знака, а по (2) знаки К и I можно менять

одновременно. Тогда, 1, и, умножая на а найдём К>а,

откуда п 1 Теорема доказана.

Теория делимости для поля рациональных чисел, как и для вся-

кого поля, бессодержательна и сводится к положению, что любое

число делится на любое другое число, отличное от нуля.

Для применения математики в технике и других науках в извест-

ном смысле слова достаточно одних рациональных чисел и даже пе