180

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, И ПОЛЯ

в поле Г обозначает частное от деления

Но тот же символ

на Это не ведёт, однако, к противоречию, так как ио дока-

(ц) и класс а

занному в конце предыдущего параграфа, если а

содержит пару (К, l), то действительно а

где ——частное от

деления на l.

Все дроби, составленные из пар одного класса а, обозначают

одно и то же рациональное число Таким образом, по

определению эквивалентности пар (2) имеем

а

тогда и только тогда, когда ad

(1)

Отсюда, в частности, вытекает основное свойство дроби, т. е.

равенство

а

ас

(2)

bc

для любого с # 0. На этом свойстве основаны, как известно, сокра-

щение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

будет целым при условии, что делится на l.

Заметим, что

Т

Простейшим обозначением целого числа а дробью будет дробь

а

Для целых чисел мы будем применять наряду с дробями также

и прежние обозначения. Так,

6

4

2

—15

з

5.

1

Так как дробь — обозначает рациональное число, равное част-

ному от деления К на в поле Г, то для действий сложения, вычитания,

умножения и деления над числами, обозначенными дробями, вер-

ны правила (1), б), в), г) S 22, т. е. обычные правила оперирования

с дробями.

Рациональные числа, не являющиеся целыми, будем называть

Дробными (таким образом, мы будем различать термины «дробь»

и «дробное число»). Итак, целые и дробные числа вместе соста-

вляют все рациональные числа.

Замечание 1. Для рациональных чисел как элементов поля Г

верны все теоремы, доказанные для любых колец и полей в SS 7, 8.

Так, верны правила знаков при умножении [5 7, (3)]; существует

единица, причём она равна числу 1, соответствующему единичному

классу поля Го при изоморфном отображении f (ибо этот класс

состоит из пар вида (с, • 1, с), где с О); любое число

а

0 имеет обратное, причём это будет число — ;

отсутствуют де-

лители нуля (5 8, теорема 1) и т. д.