4) Поле Г не содержит отличного от него самого подполя,

содержащего С. Чтобы в этом убедиться, покажем, что любой

элемент поля Г равен частному целых чисел. Любой элемент из Г

имеет вид f(a), где а— некоторый класс поля Го.

11усть класс а содержит пару (К, l) целых чисел, причем 0.

Тогда определению отображения f класс р

состоит из пар вида (Кс, с) и у— из пар вида (lc, с), следовательно

класс ат содержит пару

откуда р. Согласно определению умножения в Г [второе из

равенств (7)] отсюда находим: откуда

f(r)¯ Г

Любое подполе поля Г, содержащее все целые числа, должно

содержать и все их частные, т. е. по доказанному все поле Г, чем

и завершается доказательство теоремы.

Итак, одно из изоморфных полей рациональных чисел нами

построено. Его элементами являются, во-первых, все целые числа

и, во-вторых, классы эквивалентных пар целых чисел вида (а, Ь),

где Ь и а не делится на Ь. Этим решён вопрос о существова-

нии поля рациональных чисел, т. е. поля, удовлетворяющего опре-

делению 1. Остается ввести для рациональных чисел обычные обо-

значения с помощью дробей и показать, что эти числа обладают

обычными, всем известными, свойствами.

S 23. Свойства рациональных чисел

Введём для рациональных чисел, рассматриваемых как элементы

построенного в предыдущем параграфе поля Г, обычные обозначе-

ния с помощью дробеИ. Каждое рациональное число а является

образом некоторого класса а поля Го, т. е. (а). Класс а одно-

значно определяется любоИ входящей в него парой (К, 1) целых

чисел, где I # 0. Таким образом, любое рациональное число а одно-

значно определяется парой (К, из класса а. Будем обозначать

где К и числа и

это число а через Т ,

а символы

0, будем называть Дробями 1).

1) Таким образом, в отличне от молчаливо принимаемого обычно пони-

мания дробей как чисел особой категории мы считаем дроби не числами, а

ПОЛЕ РАЦИОН ХЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

32

179

лишь

могут

символами для обозначения чисел. В самом деле, различные дроби

обозначать одно и то же число. Так,