204

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

для любых непрерывных полей с заменой рациональных чисел рацио-

нальными элементами 1).

Доказательст во. Строим отображение поля Г), в поле 1),

следующим образом. Пусть dl —любой элемент поля [Д. Так как

архимедовски расположено, то по теореме 1 Cl1 lirna с рацио-

нальными а . Таким образом, последовательность {ап} фундамен-

тальна в Д, а потому и в его подполе Г. Так как Г с: Г), и D

2

архимедовски расположено, то последовательность Аап}, фундамен-

тальная в Г, будет фундаментальной и в (5 24, теорема 5). Так

как D2 полно, то в [Д. Мы положим

Покажем, что элемент не зависит от выбора последователь-

ности рациональных чисел {ап}. Если ещё lim Ь

— d1 с рациональ-

[5 24, тео-

ными bn, то lim а

lim Ьп, откуда lim (ап

рема 2, а)] в ГЛ, а следовательно, в Г. Рассуждая, как выше, мы

найдём, что lim (ап

в D2 и lim ап— Если Щ —

рациональное число, то litll ап где при любом п. Таким

образом, т. е. отображение f оставляет на месте рацио-

нальные числа.

Если с, и 1im ап, Ьп,

то 1im (ап

и lim ап lim Ьп в I)2, т. е. f(C1) Итак, отображение .f

является взаимно однозначным отображением Г)! в [Д. Оно зависит

от определения предела в [-)1 и [Д, а потому зависит от отноше-

ний порядка в этих полях.

Покажем, что f есть изоморфное отображение в [Л. Надо

показать, что для любых элементов с, и Cl1 из [Д будет:

+f(dl),

Это легко следует из теоремы 2, б), в) S 24, именно, если

c1 1im а п, lim Ьп, то, применяя определение отображенияј, имеем;

f(C1 А— Щ) (liT11 ап 4- lim Ьп) l(lim (ап -Г- Ьп)]

limf (ап 4- Ьп) lim [f(an)

limf(an) А— lim а п) -f-f(lim Ьп) —

и аналогично доказывается второе равенство.

Покажем, что отображение сохраняет отношение порядка.

Пусть c1 в поле D1 и ст— lim ап, lim Ьп. Тогда сущест-

при любом п 24, теорема 2, д)]

вует по такое, что а

и lirnan Ьп в [Д, т. е. / (ст) sf(d1).

Но из с, Щ следует: f(Cl) Таким образом, / (с!)

Покажем, что f является единственным изоморфным отображе-

нием Dl в [Д, сохраняющим отношения порядка. Пусть д— другое

А) В S 26 мы увидим, что ограничение изоморфизмами, сохраняющими

отношения порядка, можно отбросить, так как поле действительных чисел

допускает еянистве1шое расположение.