181

ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Переходим к свойствам расположения поля рациональных чисел.

Т е о р е ма 1. Поле Г рациональных чисел может быть распо-

лотсено (S 10, определение 1) и притол единственныж образом.

положительно, если целое число Ы поло-

При этож цисло а—

жительно. Это расположение в частном случае целых чисел совпа-

Дает с расположением целых чисел, определённым ранее (5 21,

теорема З).

Док аз а тел ь ст в о. Будем считать рациональное число а—

где К -4:0, положительным, если целые числа К и Е— одного знака,

т. е. или оба положительны, или оба отрицательны, иначе говоря,

положительно (в символах: а > 0), если в смысле

расположения целых чисел. Это определение положительности числа

а не зависит от его записи в виде дроби. В самом деле, если

и то, умножая последнее неравенство на поло-

жительное целое число Ц, получим:

Но следовательно (S 10, теорема З).

Покажем, что данное определение положительных чисел удовле-

Так как для це-

творяет аксиомам ЛХ и Х из S 10. Пусть а—

лых чисел аксиома ЛХ выполнена, то выгтолнено одно и только одно

из трёх соотношений —kl> 0.

Если kl>0, то если то и если

то Итак, аксиома IX справедлива и для

рациональных чисел. Если

то

ибо

А также

ибо

h1l„ КА

l1l,

(КА) (КА) К 0.

k1h2

— 11l2

Итак, аксиома Х для рациональных чисел выполнена. Поле Г

расположено.