ГЛАВА ял

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

S 24. Полные и непрерывные поля

Ещё в Древней Греции было известно су1цествование несоизме-

римых отрезков. Стремление получить для их отношения точное

числовое значение должно было бы привести к понятию иррацио-

нального числа. Однако строгое обоснование этого понятия оказа-

лось не под силу учёным древности. Стремясь к строгому обосно-

ванию математических положений, они придавали им геометрическую

форму. Примером этой своеобразной геометрической алгебры могут

служить «Начала» Евклида.

В Средние века индусы пользовались иррациональными выраже-

ниями, не вдаваясь в вопросы их обоснования. С развитием анализа

в XVII и XVlII вв. действительные числа становятся основным

объектом исследования. При этом с ними оперировали на ос-

нове наглядных представлений, изображая числа точками прямой

линии.

Ко второй половине XlX в. потребность формального построе-

ния теории действительного числа назрела настолько, что она была

построена рядом математиков (Дедекинд, Кантор, Вейерштрасс).

Все эти построения, по форме совершенно различные, равноправны

в том смысле, что приводят к изоморфным числовым областям. Мы

приведём ниже построение Кантора как наиболее тесно связанное

с понятием предела, рассмотренным выше. В литературе чаще встре-

чается построение Дедекинда, с которым читатель может познако-

миться по книге самого автора [10]; прекрасное изложение теории

Дедекинда, богатое ценными методологическими указаниями, дано

в книге А. Я. ХинчиИа [11].

Как было показано в конце S 23, отношение отрезков и корень

из положительного рационального числа ие всегда выражаются ра-

циональными числами. Мы хотим теперь расширить поле рациональ-

ных чисел Г до поля действительных чисел D, в котором эти

задачи (а также широкий класс других задач) бьыш бы всегда

разрешимы.