182

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦЛ И поля

Легко видеть, что аксиомы IX и Х, выполненные для некоторого

кольца или поля, остаются справедливыми для любого его подкольца-

Поэтому расположение поля Г рациональных чисел порождает неко-

торое расположение содержащегося в Нём кольца С целых чисел.

Но кольцо целых чисел допускает единственное расположение (S 21,

теорема З). Поэтому любое расположение (в частности, определён-

ное выше) поля рациональных чисел сохраняет расположение кольца

целых чисел, определённое ранее (5 21).

Покажем, что построенное расположение поля рациональных

чисел является единственным. Пусть дано какое-то его располо-

жение. Оно сохраняет неизменным расположение целых чисел. Пока-

жем, что рациональное число

тогда и только тогда поло-

жительно, когда целое число kl положительно. В самом деле, если

то, умножая на Р найдём Если, обратно, hl>0,

так как иначе—

и, умножая на найдём

то и —

—kl>0, что противоречит 0.

Итак, любое расположение поля рациональных чисел совпадает

с определённым в начале доказательства. Теорема доказана.

За м е ч а н ие 2. Рациональные числа обладают всеми свойствами

элементов любого расположенного поля, приведёнными в S 10. Так,

считая a>b, если положительно, мы вводим порядок, при

котором 0 меньше всех положительных и больше всех отрицатель-

ных чисел (5 10, теорема 1). Для этого порядка верны законы

монотонности и правила оперирования с неравенствами (S 10, тео-

ремы 2—4). Поле рациональных чисел имеет характеристику 0 (5 10,

теорема 6). Определяя абсолютную величину числа а как неот-

рицательное из чисел _±а, получим обычные её свойства, в том

числе обычные правила сравнения двух чисел по величине и

правила четырёх арифметических действий через действия над

абсолютными величинами (5 10, теорема 8 и следующие за ней

замечания).

Пусть Р— любое поле характеристики 0 (5 8, определение 2)

и е— единица поля Р. Определим произведение ах любого эле-

мента х поля Р на любое рациональное число а. Если а—

с целыми К, I и О, то и [е 0, и мы положим:

ах (ае) х.

Для целого а это определение совпадает с данным в S 7, ибо из

следует и по (5) из S 7

(ас) (lc) — (а[) е Ке,