ПОЛЕ ЛЕИствитЕльных ЧИСЕЛ

191

Всё дело заключается, однако, в том, что такого числа, к кото-

рому числа ап и bn приближались бы вышеописанным образом, среди

рациональных чисел может не быть. Для того чтобы такое число

нашлось для любых последовательностей рациональных чисел ап и bn

со свойствами (1), приходится вводить новые (нерациональные)

числа. Для их введения надо точно определить понятие последова-

тельности и её свойства.

О п ре д ел е н ие 1. Последовательностью элементов Данного

непустого множества М навывается функция (5 З, определение 1)

определённая на лнотсеспше N всех натуральных чи-

сел, значение которой принадлежит множеству М. Иными сло-

вами, последовательностью называется всякое соответствие, со-

поставляющее с ка.тсДыя натуральным числоя п некоторый эле-

лент а лнотсества М.

Последовательность обозначается символами ао щ, аз, . или

а Элемент ап называется п-Л членол последовательности {ап}.

Заметим, что члены последовательности не обязательно должны быть

различными элементами множества М.

Приведём несколько примеров последовательности.

1. Последовательность натуральных чисел 1, 2, З, .

где а есть остаток от деления п на 2.

11

6. 2, з, 5,7 —

, {рп}, где рп—п-е простое число. Здесь мы

не можем дать общую формулу для п-го числа рт. Тем не менее

данная последовательность точно определена. Надо лишь восполь-

зоваться индуктивным определением (S 15, определение 1), положив

f(n) есть наименьшее простое число, большее числа

— 1). Эти условия определяют единственную функцию, заданную

на множестве всех натуральных чисел (5 15, теорема 1). Этот пример

показывает, что функция не обязательно должна задаваться некоторой

формулой, определяющей её значение через значение аргумента.

Нижеследующие понятия имеют смысл не для любого множе-

ства, а лишь для упорядоченного множества или расположенного

кольца. Мы ограничимся, однако, только нужным для дальнейшего

случаем расположенного поля, содержащего поле рациональных чисел.

Итак, во всём этом параграфе под Р следует понимать располо-

женное поле, содержащее в качестве подполя поле рациональных

чисел Г. Всё сказанное в этом параграфе о поле Р остаётся спра-

недливым (в силу изоморфизма, установленного в S 23, теорема 2)

для любого расположенного поля Q с заменой рациональных чисел

на соответствующие им элементы re, где е— единица поля Q.