198

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

тогда, например, с • AB

lVfN1 составляет часть отрезка ММ. Как бы мал ни был отрезок NlN,

по геометрической аксиоме Архимеда найдётся натуральное К такое,

что К • МЛЈ>АВ. но [5 23, и • NNV>AB, откуда

АВ

где

1

ар¯јок•

Но из ак<с следует, что

АВ

< мру,

что невозможно ввиду ММ. Также придём к противоре-

чию, предположив, что c.AB>MN. Таким образом с•

Если отрезки АВ и ММ несоизмеримы, то их отношение не может

выражаться рациональным числом, а потому построенные для от-

резков последовательности рациональных чисел Ra,t} и {bn} не имеют

предела в поле рациональных чисел, хотя и являются фундамен-

тальными.

Итак, в поле рациональных чисел существуют фундаменталь-

ные последовательности, не имеющие предела.

О п редел е ние 5. Расположенное поле называется полным,

если оно обладает следующим свойством:

XII (а кс и ома полнот ы). Любая фундаментальная последо-

вательность элементов Данного поля сходится, т. е. имеет пре-

дел в этом поле.

Из сказанного выше вытекает

Т е о р е ма 4. Поле рациональных чисел Г не является полным.

Мы дали выше два доказательства этой теоремы, построив рас-

ходящиеся фундаментальные последовательности рациональных чисел

для несоизмеримых отрезков и для рационального числа, не являю-

щегося К-й степеныо никакого рационального числа. Доказательство

с помощью отрезков опиралось на положения геометрии, которые

здесь не обосновывались. Другое же доказательство опиралось лишь

на доказанные нами свойства рациональных чисел и потому может

считаться доведённым. до конца.

За ме ча н и е. Введённые выше понятия фундаментальной после-

довательности, её предела и связанное с ними понятие полного

поля имеют одно свойство, коренным образом отличающее их от

введённых ранее понятий: алгебраических операций, расположения и

архимедовского расположения. Именно, пусть дано ноле Р и его

подполе Р. Если для элементов а, Ь, с из подполя Р' имеет место

соотношение то это соотношение по самому определе-