186

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВЛ, группы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Так как то для К 40 это неравенство выполнено. Для

натурального К докажем его индукцией по числу К при данном п.

По условию п1 1, т. е. для неравенство верно. Если

оно верно для числа К, то nh>k, откуда

2k К + 1,

т. е. неравенство верно и для числа КА- 1. Так как то по

аксиоме Архимеда найдётся натуральное число К, для которого

- к найдём

1

«а, что и требовалось доказать.

п-

Заметим, что ввиду теоремы 2 последние две теоремы остаются

верными для любого архимедовски расположенного поля Р с заме-

ной в их формулировках рациональных чисел на соответствующие

им элементы (т. е. числа Г на элемент те, где е— единица Р).

Из теорем 4 и 5 вытекает, что для целей приближённых вы-

числений рациональные числа можно заменить п-раииональными при

данном п. В частности, можно применять числа, изображаемые конеч-

ными десятичными дробями 10), что и делают на практике.

В самом деле, мы скажем, что результат вычисления найден при

гюмощи рациональных чисел с точностью до данного рационального

числа c если найдены два рациональных числа а и Ь (резуль-

таты вычисления по недостатку и по избытку) такие, что а

и искомый результат вычисления заключён (в определён-

ном смысле для данного вычис.чения) между а и Ь. Но по теореме 5

существует целое К такое, что

2

Далее, по теореме 4 найдутся целые числа и т такие, что

Так как интервал (ф, Ь] ) шире (а, Ь), то естественно считать ре-

вультат вычисления заключённым между и Ь!. Далее,

Таким образом, и b1 служат приближениями по недостатку и

по избытку с помощыо п-рациональных чисел с тою же степенью

точНости с. Рассуждая аналогично, можно и число с заменить мень-

шим уже п-рациональным числом.

Однако для точного выражения результата вычисления недоста-

точно не только п-рациональных, но и всех рациональных чисел.

Пусть, например, надо найти длину отрезка MN, если отрезок АВ

мринят за единицу измерения. Искомая длина есть отношение отрез-