ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

189

Чтобы понять, какие свойства чисел нужны для разрепшмости

этих задач, и иритги тем самым к целесообразному определению

поля действительных чисел, разберём эти две задачи подробнее.

Пусть надо найти отношение отрезков АВ и MN. Тогда мы

откладываем на отрезке MN от точки М отрезок ММ1 затем

от в том же направлении и т. д. По геометриче-

скоИ аксиоме Архимеда найдётся натуральное число п такое, что,

отложив таким образом п раз отрезок АВ, мы получим отрезок

п • AB>MN. Таким образом, множество тех целых чисел К, для

которых К • AB

ему принадлежит. Поэтому это множество содержит наибольшее

число ао (S 21, теорема 5). Если ao—l- то

• • АВ.

Естественно считать, что искомое отношение MN: АВ лежит

между ао и bo. Далее, делим АВ на 10 равных частей и для одной

из них Афт повторяем наше рассуждение. Получим целые числа

а: и +1, для которых,

или, полагая

а:

ат¯10'

имеем:

Так как

шао • • • АВ— • А В

будем иметь:

то по максимальности а

шао < 1 ОТ,

откуда

а' + 1 < 10bo

и

0—-lO

Повторяя те же рассуждения, получим две последовательности чисел

ап и Ьп, удовлетворяющие условиям

а)

б)

в)

(1)