178

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Покажем, что .f будет изоморфным отображением мпожсства С

с операциями над классами на кольцо целых чисел. Достаточно

доказать равенства

(6)

Но если класс а содержит пару (ас, с) и класс р— пару (bc, с),

то (а М—Р) содержит пару

(ас, с) —К- (bc, [(а -Е Ь)с2, с2]

и класс ар —пару

(ас, с) (Ьс, 8),

откуда

и

ab • .f(P)•

Построим теперь искомое поле рациональных чисел Г. Пусть

Г —множество, полученное из поля Го путём замены каждого класса

множества С' соответствующим ему при отображении f целым чис-

лом. Для определения операций в Г дополним определение отобра-

жения f, положив для любого класса из Го, не входящего

в С'. Тогда f будет взаимно однозначным отображением Го на Г.

Сложение и умножение в Г определяем равенствами

(7)

Здесь а и

— любые элементы Го, следовательно f(a) и f(?) —

любые элементы Г. Поэтому равенствами (7) действительно опре-

делены операции во множестве Г.

Теор ем а 7. Множество Г с операциями, определёнными ра-

венстваяи (7), является полем рациональных чисел.

До к а за т е льс т во. Надо показать, что множество Г обладает

свойствами 1)—4) из определения 1.

1) Г содержит кольцо целых чисел С по построению.

2) Г является полем, так как равенства (7), определяющие сло-

жение и умножение в Г, вместе с тем показывают, что множество Г

относительно этих операций изоморфно полю Го. Но множество

с двумя операциями, изоморфное полю, само является полем (5 9,

теорема 1),

З) Сложение и умножение целых чисел совпадают с одноимён-

ными операциями над этими числами в поле Г. В самом деле, при

отображении f це.чые числа являются образами элементов множества

С' из поля Г. Но если а и

р— классы из С', то для них равенства

(7) совпадают с (6), где сложение и умножение в левых частях

равенств означают операции над целыми числами, определённые

в S 20.