НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

149

Условия (1) и (З) определяют значения данных функ-

ций числа К для К 1, а условия (2) и (4) играют роль

куррентных соотношений в пункте в) леммы. по лемме

существуют единственные функции

заданные на от-

резке 1, п [ и обладающие соответственно свойствами (1), (2) и

(З), (4). Поэтому определение 2 имеет точный смысл.

Заме ча ни е. До сих пор при построении арифметики нату-

ральных чисел (начиная с S 11) мы нигде не пользовались теоре-

мами первых двух глав; с другой стороны, в этих двух главах

использовались лишь те понятия и факты из теории натуральных

чисел (а именно, понятие отрезка натурального ряда, индуктивное

доказательство и индуктивное определение), которые нами уже

изложены. Поэтому, не делая порочного круга, мы можем в даль-

нейшем построении теории натуральных чисел опираться на факты

из первых двух глав. В частности, верны основные свойства суммы

и произведения [см. S 6, (1), (2):

(5)

п

п

При совпадающих слагаемых или сомножителях сумма и произ-

ведение по определению дают кратное и соответственно степень

натурального числа а. Для них верны обычные правила оперирова-

ния [см. S 6, (З) —

Итак, определением кратного и степени числа служат равенства

ап

а

(7)

(8)

Но обозначение ап в (7) имело уже раньше другой смысл.

Так обозначалось произведение натуральных чисел а и п. Нужно

доказать, что оба истолкования записи ап совпадают. Когда это

будет доказано, то, придав натуральному числу п количественное

значение (как мощности множества), мы придём к школьному опре-

делению произведения ап как суммы п слагаемых, равных а.