НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

153

Непротиворечивость. Для приемлемости любой системы аксиом

нужно, прежде всего, убедиться, что построенная на её основе тео-

рия не содержит противоречий, т. е. что с помощью этих аксиом

нельзя доказать двух взаимно исключающих друг друга предложений.

Как же можно доказать непротиворечивость аксиом данной системы

в этом смысле? Разберём этот вопрос на примере плоской геоме-

трии. При её аксиоматике точки и прямые, а также и основные

отношения между ними («точка лежит на прямой», «одна точка

прямой лежит между двумя другими» и т. д.) понимаются формально

(абстрактно). Эти понятия связаны данной системой аксиом. С дру-

гой стороны, имеется другая аксиоматическая теория— поле дей-

ствнтельных чисел. В аналитической геометрии устанавливается, что

точкам плоскости соответствуют пары чисел (координаты точки), а

прямым — уравнения (уравнения прямых). Отношениям между точ-

ками и прямыми соответствуют известные числовые отношения этих

пар и уравнений, причём аксиомам геометрии соответствуют пред-

ложения (теоремы), которые можно доказать на основе аксиом и

свойств чисел. Таким образом, олйа аксиоматическая теория (геоме-

трия плоскости) включается как часть в другую (теорию действитель-

ного числа). Если бы геометрия содержала противоречие в указанном

выше смысле, то и для действительных чисел .можчо было бы найти

противоречие (доказать на основе аксиом чисел два взаимно исклю-

чающих предложения). Если аксиоматика чисел непротиворечива, то

то же верно и для аксиоматики геометрии. В этом смысле непро-

тиворечивость аксиом геометрии доказана.

Представление одной аксиоматической теории при помощи

понятий другой теории, разобранное нами на примере плоской гео-

метрии и арифметики, применяется в математике весьма часто и не

только для сведения непротиворечивости одной теории к непротиво-

речивости другой. Поэтому мы дадим для него следующее опреде-

ление:

Оп редел е ние 1. Любое множество, для элементов кото-

рого определены основные отношения и выполнены аксиомы дан-

ной аксиоматической теории, называется интерпретацией этой

теории.

Интерпретация данной Аксиоматической теории не разрешает

вопроса о её непротиворечивости, а лишь сводит его к вопросу

о непротиворечивости той теории, в которой осуществлена данная

интерпретация.

Непротиворечивость теории натуральных чисел доказана не фор-

мально-логическими средствами, а многовековой практикой челове-

чества, показавшей отсутствие противоречий в этой теории и еь

соответствие с действительными соотношениями реального мира.

Полнота. Далее, возникает вопрос, насколько хорошо описывает

система аксиом данную теорию? Можно ли с помощью данной

системы аксиом доказать или опровергнуть любое предположение,