166

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦЛ И ПОЛЯ

равные элементы; следовательно, откуда (х, у)

==(b, а). Но са.ма пара (Ь, а) обладает нужным свойством, ибо

принадлежит классу 0. Назовём пару (Ь, а) противоположной (а, Ь).

При замене пары (а, Ь) эквивалентной противоположная пара также

заменяется на эквивалентную; любая пара класса

— а противо•

положна некоторой паре класса а.

Итак, класс

— а, противоположный классу а, состоит из пар,

противоположных парам класса а.

Построенное нами кольцо Со является изоморфным кольцу це-

лых чисел. Если строить целые числа лишь с точностью до произ-

вольного изоморфизма, то само Со можно считать кольцом целых

чисел. Однако, при расширении данной системы чисел до новой мы

будем считать эту данную систему определённой вполне однозначно,

т. е. из всех ее интерпретаций выбираем какую-нибудь одну. При

этом условии кольцо Со не удовлетворяет определению 1, так как

Со не содержит натуральных чисел, ибо его элементы — классы эк-

вивалентных пар натуральных чисел.

Так как натуральные числа сами ещё не являются элементами

кольца Со, то для получения из Со кольца целых чисел (определе-

ние 1) надо включить в Со множество натуральных чисел лт.

Сначала найдём в кольце Со множество, изоморфное множеству

натуральных чисел. Любой класс а кольца Со, отличный от нуля,

состоит из пар (а, Ь), где а # Ь. Назовём класс а классом первого

рода, если a>b, и второго рода, если a

зависит от выбора пары (а, Ь) в классе а, так как если (а, Ь)

(с, d), то Поэтому из следует (S 16, тсо-

рема 2) dd, из следует также c

ЛА— соответственно множества классов первого и второго рода.

Покажем, что множество ЛЛ классов первого рода изоморфно мно-

жеству N натуральных чисел относительно операций сложения и

умножения. Построим взаимно однозначное отображение f множе-

ства Л/1 на N. Если класс а из N1 содержит пару (а, Ь), то

и, следовательно, существует натуральное число К такое, что а

(S 14). Мы положим Число К не зависит от выбора

пары класса а, так как из (а, Ь)

„и (с, d), т. е. при

следует откуда также Раз-

ным классам соответствуют разные числа, так как если а содержит

(а, Ь) и р содержит (с, d), причём то

и, складывая крест-накрест, найдём:

Любое число К является образом некоторого класса а, именно содер-

жащего пару (а А- К. а). Этим дока.зано, что отображение f взаимно

однозначно (S 3, определение З).