156

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬПЛ И ПОЛЯ

Так как всякий элемент следует за другим, то не выполнено.

II, IiI, lV' выполнены. Если М * О и, например, Ь€М, то по 2) также'

Ь и с'=а€М, M=N.

2. Независимость аксиомы II. Пусть

двух элементов а и Ь, причём а' Тогда а будет единицей.

Аксиома II не выполнена, так как Ь не имеет следующего эле-

мента.

Прочие аксиомы выполнены.

З. Н е зависимость аксиомы III. Пусть

четырёх элементов а, Ь, с, d, причём

Аксиома III не выполнена, так как Ь следует за а и d, из

a':=d' не следует Остальные аксиомы выполнены, причём

а играет роль единицы.

4. Незав исимость аксиомы 1V' (или также IV). Пусть

М— множество всех натуральных чисел 1, 2, З, ... ,

и всех

чисел вида п -4- — с любым целым п, причём для натуральных чисел

отношение «следует» имеет прежний смысл и

Аксиома IV' не выполнена. В самом деле, роль единицы играет

само число 1 (только оно не следует ни за каким другим). Множе-

ство М всех натуральных чисел обладает сзойствами А') и Б) [или

А) и Б) при аксиоме IV], но не содержит всех элементов множе-

ства N.

Таким образом, система аксиом I —III, IV натуральных чисел не-

зависима.