КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

169

второго рода. Эти случаи несовместимы, так как если (К, l)— пара

класса а, то соотношения h>l, /e

теорема 1). Если а— второго рода, то К Тогда противопо-

ложный класс —и содержит пару (l, К), где l>h, т. е. он первого

рода. При изоморфизме f свойство элементов быть противополож-

ными друг другу сохраняется, т. е.

Если а первого рода, то натуральное число по опреде-

лению f; если то если а—второго рода, то

— натуральное число.

а — первого рода и — а

Т е о р е ма 2. Колщо целых чисел есть обласпљ целостности

(S 7, определение 2) с единицей, причёл единицей служит нату-

ральное цисло 1.

До каза т ель ст во. Будем вместо а писать, если нужно, также

А- а. Покажем, что произведение ab целых чисел лишь тогда равно

нулю, когда один из сомножителей равен нулю. Пусть а 76 0 и Ь 7:0. По

предыдущей теореме а с и Ь d, где с и d —натуральные числа.

Тогда ab где берём знак А— при одинаковых знаках а, Ь и

знак — при разных; cd 0, так как произведение натуральных чи-

сел является натуральным числом, следовательно, ab 4:0.

Покажем, что а • 1 для любого а. Если а—натуральное

число, то это верно по определению умножения (5 13).

Если а то а • 1 Если где Ь—

Ь=а. Тео-

натуральное число, то а • 1 • 1

рема доказана.

Перейдём к понятиям о положительном и отрицательном числах

и сравнению целых чисел по величине.

Т е о р е м а 3. КоЛьцо целых цасел С лотсет быть расположено

(5 10, определение 1) и притол единственныя образом. При этол

расположении все натуральные числа положитс'льны, а все про-

, — отрицательны.

—1,

тивоположные иж цисла

Доказа тель ст во. Если считать натуральные числа и только

их за положительные, то кольцо С будет расположено. В самом

деле, по теореме 1 для любого числа а либо а положительно, либо

либо — а положительно, т. е. аксиома lX (5 10) выполнена.

Так как сумма и произведение натуральных чисел•— числа натураль-

ные, то выполнена и аксиома Х. Раз натуральные числа положи-

тельны, то по самому определению противоположные им числа

единственно

отрицательны. Покажем, что данное расположение —

возможное. Пусть кольцо С расположено каким угодно образом.

По аксиоме IX одно из чисел-]— 1 и— положительно. Тогда по

— 1) как произведение поло-

аксиоме Х число 1 1

жи тельных само положительно. Тогда также по аксиоме Х и любое

натуральное число п как сумма п единиц (S 15, теорема 2) поло-