КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

171

большее число Ь. Тогда число а будет наименьшим в А.

Наконец, если А ограничено, то оно ограничено и сверху, и снизу,

и по доказанному содержит как наибольшее, так и наименьшее число.

На этой теореме основаны различные формы односторонней или

двусторонней индукции. Например:

Т е о р е ма 6. Если некоторая теорема Т, касающаяся целого

числа, верна для целого числа а и

а) если из того, что теорема Т верна для исла х сле-

дует, что она верна для числа х + 1, то она верна для любого

числа b>a;

б) если из того, что теорема Т верна для числа х<а, сле-

дует, что она верна для числа х— 1, то она верна для любого

числа Ь а;

в) если из того, шпо теорема Т верна для любого числа х,

удовлетворяющего неравенству х1 где хт a

дует, что она верна для чисел х1 и х2, то дна верна для любого

целого числа Ь.

Доказа тель ст во. Все подобные утверждения доказываются

одинаково. Докажем, например, утверждение в). Если теорема Т

верна не для всех целых чисел, то существует целое число Ь, для

которого она неверна. Пусть (в случае рассуждение

аналогично) и пусть А есть множество тех целых чисел А,

для которых Т неверна. Множество А ограничено снизу числом а

и непусто, ибо содержит число Ь. По предыдущей теореме это

множество содержит наименьшее число -ti. Если положим хт равно

а— 1, то теорема Т верна для любого числа х такого, что

% причём Следовательно, теорема Т верна

и для чисел х] и .д. Но число х, принадлежит множеству А, т. е.

для хя теорема Т неверна. Полученное противоречие доказывает

утверждение в).

Т е о рем а 7. Кольцо целых чисел архимедовски располотсено

(S 10, определение З).

Доказательство. Пусть аи Ь—целые числа и Если

а<0, то 1 • Если а>О, то а и Ь—натуральные числа

и для них аксиома Архимеда выполнена (S 14, теорема 6)- Поэтому

существует натуральное число п такое, что пЬ>а.

На свойствах делимости целых чисел мы останавливаться не

будем, так как они рассматриваются в статье А. Я. Хинчина.