ГЛАВА V

ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

S 22. Определение поля рациональных чисел

В настоящей главе будут построены рациональные числа, поло-

жительные, отрицательные и число нуль. Дробные числа появились

в глубокой древности задолго до отрицательных чисел. Их возник-

новение связано с задачами измерения. В случае, когда единица из-

мерения не укладывалась целое число раз в измеряемой величине,

естественно возникало понятие о дробном числе. Заметим, что при-

нятый нами порядок изложения отличается от школьного тем, что

мы сначала определяем целые отрицательные числа, а затем все

рациональные числа, тогда как в школе отрицательные числа появ-

ляются уже после дробных. Такое построение нами принято с целью

получить возможно раньше числовую область (целых чисел), кото-

рая является кольцом, с тем, чтобы далее применять общую теорию,

построенную в главе II. Укажем, однако, на то, что без каких-либо

существенных изменений в рассуждениях можно было бы переста-

вить местами построения «относительных» чисел из S 20 и рациональ-

ных чисел из данного параграфа. Тем самым будет сохранён обыч-

ный для школы порядок изложения.

Расширение множества целых чисел до множества чисел рацио-

нальных производится по общему плану, указанному в S 18 для

любого расширения, и рассуждения при этом аналогичны проведен-

ным в S 20 при расширении натуральных чисел до целых. Все от-

личие состоит в том, что тогда речь шла о свойствах сложения, а

теперь— о свойствах умножения.

Во множестве целых чисел не всегда выполнима операция, об-

ратная умножению, т. е. деление, даже при условии, что делитель

отличен от нуля. Поётавим задачу расширить кольцо С целых чисел

до такого множесгва Г, где были бы заданы операции сложения и

умножения, обладающие теми же свойствами, какими они обладали

для целых чисел, причём деление на элементы множества, отличные

ог нуля кольца С, было бы всегда возможно. Это означает, что

множество Г должно быть полем (S 8, определение 1). Будем