159

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

полнимой в В некоторую операцию, не всегда выполнимую в А, мы

можем ввести формально в В те же правила оперирования, ко-

торые для данной операции имели место в А в тех случаях,

когда она была там выполнима. Это формальное перенесение

старых правил на новое множество и приводит к конструкции

желаемого расширения. Так, разность а— Ь для натуральных

чисел вполне определяется парой чисел а, Ь. Такую пару мы

и примем за исходный пункт определения целого числа,

сохраняя правила оперирования, справедливые для разностей а— Ь

натуральных чисел. Та же идея лежит в основе конструкции рацио-

нальных и комплексных чисел, а также алгебраических дробей.

Эта конструктивная идея носит название теории пар. Заметим, что

во всех указанных случаях конструкция приводит не сразу к желае-

мому расширению В для области А, а лишь к области В', изоморф-

ной области В и содержащей подмножество А', изоморфное А.

Искомое расширение В получится из В' заменой в нём А' на А.

Но до проведения такого построения целых чисел необходимо

сделать некоторые замечания, связанные с основными свойствами

равенства.

S 19. Эквивалентность и разбиение на классы

Равенство элементов некоторого множества мы всегда

понимаем как отношение между элементами, заключающееся в их

совпадении или тождестве 1).

Отсюда по чисто логическим основаниям вытекают следующие

основные свойства равенства: а) (рефлексивность и.чи закон

тождества); б) если a==b, то (симметрия); в) если и

Ь с, то (транзитивность).

Но теми же свойствами обладают, как мы видели, и другие

отношения, именно: равномощность А о— В (S З), подобие А азВ

(S 5), изоморфизм А В (S 9).

Для всех таких отношений мы докажем следующую общую

теорему.

Т е о р е м а. Если для элементов множества М определено

отношение эквивалентности (словами: а эквивалентно Ь),

обладающее слеоующияи свойствами: 1) ае—а, 2) если а то

Ь о— а, З) еслп а г— Ь и Ь о— с, то а е— с, то Этим однозначно

определено разбиение яножества М на попарно непсресекающиеся

подмножества, обладающие тем свойством, что любые элементы

одного н того же подмножества эквивалентны и любые элементы

различных подмножеств неэквивалентны (разбиение на классы

эквивалентных элементов).

1) Многие авторы считают равенство некоторым понятием, подлежащим

определению или аксиоматическому описанию.