148

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

/ (а) также удовлетворяет рекуррентным соотноше-

ниям, т. е- функция f(a) обладает свойством 2). Если д (а) — любая

функция, заданная на множестве натуральных чисел и обладающая

свойствами 1) и 2), то она задана на любом отрезке 1, п; й обла-

дает там теми же свойствами. По единственности такой функции

д (а) (а) при п >еа. Таким образом, д (а) для

любого а. Этим единственность функции f(a), обладающей требуе-

мыми свойствами, доказана.

На доказанной выше лемме основано введение понятий суммы

и произведения нескольких натуральных чисел.

Определе ние 2. Пусть Даны натуральные числа 1) щ,

, а п, где п— также натуральное число 9).

(12, .

Суммой этих чисел называется число, которое обозначается

через

аи а,

и определяется условиями

для любого чист п.

Произвсоснися этих чисел

чается через

и определяется условиями

для любого числа К

а,

ај акм

называется число,

iIai

(1)

(2)

которое обозна-

(3)

(4)

1) Это определение и все результаты данного параграфа дословно пере-

носятся на любые кольца и вообще на любые множества, в которых опре-

делены операции сложения и умножения, подчинённые законам коммута-

тивности и ассоциативности.

2) Строго говоря, на отрезке | 1, п; зацапа функция аь.