ГРУППЫ, КОЛЬНЛ И ПОЛЯ

125

впадают с равенствами (2), где сложение и умножение в левых

частях означают операции, заданные в кольце R'. Этим указанное

совпадение операций доказано. Значит, R ' — подкольцо S. Если R —

подполе S, то по предыдущей теореме R' — также поле, т. е. под-

. ноле S. Теорема доказана.

S 10. Расположенные кольца и поля

До сих пор мы рассматривали либо множества без всяких отно-

шений между элементами (S 1—4), либо множества с одним отно-

шением порядка (S 5), либо множества с одной или двумя алгебраи-

ческими операциями (S 6—9). Однако важнейшую роль в матема-

тике играют числовые множества, где существуют одновременно и

отношения порядка и операции. Мы рассмотрим упорядоченные

кольца и поля с целесообразной связью порядка и операций.

С отношением порядка в кольце связаны понятия положитель-

ности, отрицательности и абсолютной величины элементов (см. S 7,

определения 1 и З).

Наличие операций позволяет несколько упрос тить введение по-

рядка в кольце. Оказывается достаточным задать лишь порядок

всех элементов относительно нуля. Далее, для сохранения обычных

свойств чисел прихоштгся наложить дополнительные требования на

связь порядка с операциями. Именно:

О пр е деле ние 1. Кольцо (в частности, поле) R называется

расиолоэкенным, если для его элементов определено свойство быть

положительным, удовлетворяющее следующим требованиям:

LX. Для любого эле.иента а € R имеет лесто одно 1полысо

одно из трёх соотношений: а а положителен,

— а положи-

1,челен.

Х. Если а. и Ь положительны, то а 4-b и ab пиис.усе положи-

тельны.

— а положителен, то а называется отрщап:СЛЬНЫЯ.

Если

Т е ор е ма 1. Если в расположеннол кольце R определить

порядок, сци,Ч1ая тогда и только тогда, когда элемент

а — Ь положителен, то R будет упорядоченным множеством

(в смысле S 5), причём нуль будет меньше всех положительных

н больше всех отрицательных элементов.

До к аз а тел ь ст во. Пусть а и Ь— элементы R. Если

то если положителен, то a>b, если —(a—b)==b—a

положителен, то » а. V13 свойства IX следует, что имеет место

Олин и только олин из этих трёх случаев (S 5, свойство 1). Далее,

если а и b>c, то и Ь —с положительны. По свойству Х

тогда (а—Ь) 4- положителен, т. е. (S 5, свой-

ство П). Итак, R — упорядоченное множество.

Если а положителен, то из следует если а

следует

отрицателен, то из