НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

143

значе-

(то, что в S 5 основное отношение обозначалось знаком

ния не имеет).

Доказа тель ств о. • Утверждение а) является лишь перефра-

зировкой теоремы 5 из S 12. Утверждение б) доказывается так:

если a>b, b>c, то откуда

Отношение «больше» совпадает в частном случае соседних чисел

с отношением «следует», так как 1, т. е. а'>а.

Что касается связи порядка с операциями сложения и умноже-

ния, то для натуральных чисел сохраняют силу многие из теорем,

доказанных в S 10 для упорядоченных колец. Так как, однако,

натуральные числа, как мы увидим, не образуют кольца, то эти

теоремы (если только они опирались на свойства кольца) прихо-

дится доказывать заново.

Теорема 2. (Законы монотонности сложения и

умноже ни я.) Из а) следует соответственно

б) а фс в) acGbc.

Доказательство. 1) Пусть a>b. Тогда

откуда а также

2) Пусть а Тогда по однозначности сложения и умножения

также и

З) Пусть aa, и по доказанному в 1)

Ьс>ас, откуда ас<Ьс.

Справедливы утверждения, обратные теореме 2.

Теорема З. Из или из следует соот-

ветственно а

Доказа тель ст во. Так как посылки и следствия в теореме 2

исчерпывают все возможности и взаимно исключают друг друга, то

обратные теоремы также верны (см. доказательство теоремы З из

S 10).

Из теоремы 2 уже дословным повторением доказательства тео-

ремы 4 из S 10 получаются известные правила оперирования с не-

равенствами:

Т е о р ем а 4. Из а а, следует соответственно