ГРУППЫ, КОЛЬЦЛ И ПОЛЯ

129

причём равенство имеет место тогда и только тогда. когда либо

а» 0, Ь 2,0, либо а 40, Ь а также доказать,

Если и то также и

Если а —0 и Ь то — а >0, — и

откуда

Итак, в этих двух случаях (1) имеет место при знаке

(2)

по

симметрии а и Ь в (1) из двух оставшихся случаев а и

а Ь достаточно разобрать лишь первый. по теореме 2,

прибавляя а к .неравенству получим:

-4-lbl.

—b к неравенству — а получим:

Точно так же, прибавляя

Но la+bl совпадает либо с а -1— Ь, либо с — (а Поэтому

Итак, в этих двух случаях (1) имеет место при знаке

Равенство (2), очевидно, выполнено, если хотя бы один из эле-

ментов а, Ь равен нулю. Остаётся разобрать три случая:

1) По сво{ћству Х и lab •

2) а —а>0, —b>0, (—а) и по пра-

вилу знаков (3) из S 7

lab

¯ ab а (— Ь) а (— Ь)

Из неравенства (1) следует

(3)

для любых элементов а и Ь расположенного кольца р. В самом

деле, так как а — и — Ь 1, то достаточно

9 Энциклопедия, кн.