ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

127

Доказа тел ь ст во. В теореме 2 посылки а) обладают тем

свойством, что одна (и только одна, что сейчас неважно) из них

наверное имеет место, а следствия [в каждом случае б), в), г)

отдельно] — тем свойством, что они взаимно исключают друг друга.

для теорем такого рода обратные теоремы всегда верны, причём

их можно доказать метолом «от противного». Докажем, например,

что из следует при с Предположим противное,

что а Ь. Тогда имеет место какая-то из других посылок а) тео-

ремы 2. Но если a>b, то по теореме 2 ас bc, если же а

то ас<Ьс, что невозможно ввиду чем исключаются нера-

венства ас>Ьс и ас<Ьс.

Следс твие 1. В пасполоясенноя кольце из а)

следует соответствен.но б)

. и обратно.

В самом деле, прибавляя к обеим частям а) сумму bA-d, полу-

чим б). Обратные теоремы верны, так как в а) и б) исчерпаны все

случаи и они исключают друг друга.

Сл едствие 2. В расположенном поле при bd>0 из а)

следует соответственно б)

ad bc,

и обратно.

Доказательство аналогично предыдущему.

Из теоремы 2 вытекают обычные для чисел правила действий

с неравенствами. А именно:

Теорема 4. Из а» и следует и, если

все элементы а, Ь, с, d положительны, то ас >bd, если же все

они отрицательны, 1,чо ас

щаяся из данной, если знаки и поленять местами.

Дока за тел ь ст во. по теореме 2 из следует а +

из следует Ь откуда

Точно так же доказывается, что при положительных а, Ь, с, d

будет ас >bd. Пусть а, Ь, с, d отрицательны. Тогда из сле-

дует ас<Ьс и из следует bc

Как следствие из теоремы З получаем:

Т е о р е ма 5. Распояо:усенное кольцо не имеет Делителей нуля

(S 7, определение 2).

Док аза тель ст во. Пусть Тогда О и по

теореме З при а 0, т. е. или а должно быть