142

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Б) Если а принадлежит М, то ab ba. Тогда, используя пре-

дыдущую теорему, найдём:

а' • Ь 1) Ь 1 • -}-b • Ь ba';

а' принадлежит М.

Теорема 4. (Левый закон дистрибутивности.)

Доказательство следует из теорем 2 и З.

Теорема 5. (Закон ассоциативности умножения.)

(ab) с а (bc).

Доказатель ст во. Пусть даны а и Ь; М— множество тех с,

для которых равенство имеет место.

А) (ab) • (Ь • 1); 1 принадлежит М.

• Б) Если с принадлежит М, то (ab) (bc). Тогда, используя

теорему 4, найдём:

(ab) с 4- ab а (bc) -4- ab а (bc -4- Ь) а (bc');

(ab) с'

d припадлежит М. Теорема доказана.

Зада ч а. Определив попрежнему 1', 3==2', .

казать равенство 2 • З •

S 14. Порядок

, до-

При определении натуральных чисел (S 11, определение 1) мы

исходили из одного основного отношения «Ь следует за а». Уже

сам выбор слова «следует» указывает на связь этого основного от-

ношения с понятием порядка, введённым в S 5 для любых множеств.

Правда, аксиомы П и llI показывают, что отношение «следует» для

чисел отличается от одноимённого отношения порядка. Оно связы-

вает каждый элемент лишь с двумя «соседними», так как по аксиоме II

за каждым числом следует только одно, а по аксиоме Ill каждое

число следует не более чем за одним числом. Но можно определить

отношение порядка для любых натуральных чисел, совпадающее

с уже заданным отношением «следует» между а и 0'. Для этого

нового отношения мы будем пользоваться словом «больше».

Опр е дел е ни е. Если для Данных чисел а н Ь существует

число К такое, что 4- К, то говорят, что а больше Ь,

Ь меньше а и пишут: a>b, Если или то

пишут: а 42' Ь. Если а или то пишут: а— Ь.

Теорема 1. а) Для любых чисел а, Ь имеет лесто одно и

только одно из трёх соотношений: a>b, b>a. б) Из

а Ь следует а>с. ИныМи словами, шножество N нату-

рольных чисел с только что определённым отношением «больше»

являетвя упорядоченныя множеством в смысле опређеления I S 5