ГРУППЫ, КОЛЫШ И ПОЛЯ

119

Т соре ма 5. Для 11i020 чтобы множество М по ш Р, содер-

тсащее не яенее двух элементов, было по)по.аем, необходшио и

достаточно, чтобы сумма, разность, прочзведение и частное (если

только оно существует в Р) любых элементов из М снова при-

надлежали к М.

Доказательс гво вполне аналогично проведённому для соответ-

ствующей теоремы о кольцах (см. S 7, теорема 4), и мы его при-

водить не будем.

Всякое подполе М поля Р содержит 0 как разность а—а, где

а

, где а(М,

аб М, и единицу как частное

а

Т е оре ма 61). Пересечение (в смысле пересечения множеств;

см. S 2) люб020 множества подполей поля Р опять являепи;я под-

полем поля Р.

До к аз а т е ль ст в о. Пусть } есть некоторое множество под-

полей, где индексы s образуют множество S и D [Л WIs — пересечение

всех подполей Ms данного множества; 0 и 1 входят в каждое пол-

поле /Vfs и, значит, в D. Итак, D содержит не менее двух элемен-

тов. Если а и Ь— элементы D, то они входят в каждое м s и по

а

также вкодят в

теореме 5 афЬ, а— Ь, ab, а при и

а значит, и в D- В силу теоремы 5 D — подполе поля Р.

О предел е ние 4. Поле, не ижеющее подполей, отличных от

него самого, назызаетс,я простым.

Примерами простых полей могут служить поле рациональных

чисел и појш вычетов по простому модулю р.

Любое подполе М поля Р рациональных чисел содержит число 1,

а значит, и все его кратные п • 1 т. е. все целые числа, а зна-

чит, и все их частные, т. е. все рациональные числа. Итак, М—Р,

т. е. Р— простое поле. Точно так же любое подполе М поля С

вычетов по простому модулю р содержит класс (1). служащий

единицей Ср,. а значит, любой класс (r) как r-kpaTHoe класса

Итак, , т. е. С —простое поле.

Можно доказать, что этими полями в некотором смысле исчер-

пываются все простые поля.

Т е ор е ма 7. Любое поле содержит простое подполе и при-

то и только одно.

Док аза тель ст во. Поче Р вообще содержит подполя (на-

пример, само Р). Пусть D есть пересечение всех подполей поля Р.

По теореме 6 D является подполем Р и по самому определению

входит в любое подполе. Пусть М — подполе D, отличное от D.

1) Соответствующая теорема ведрна и лая колец, т. е. пересечение любого

множества ПОДКОЛОТА кольца R есть полкольцо кольца Доказательство её

вполне аналогично данному здесь для нолей и предоставляется читателю.