ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

123

только одно с, для которого или (эти два требо-

вания являются по существу двумя дополнительными аксиомами),

причём эти требования предполагаются выполненными как в М, так

и в М', определение изоморфи.зма групп колец и полей можно уп-

ростить по сравнению с определением 1, а именно требовать сохра-

нения основных отношений лишь прн переходе от М к М'. Огра-

ничиваясь случаем колеи и полей, нужным в дальнейшем при опреде-

лении числовых областей (случай групп отличается от рассмотренного

лишь тем, что налицо одна операция вместо двух), получаем таким

образом:

Определение 2. Кольцо (или поле) R называется изоморф-

ныл кольцу (соответственно полю) R' (запись R если с,уце-

ствует взаимно однозначное отображение R на R', при котором

сумме и произведению любых элементов R соответствуют сумма

и произведение соответствующих элементов R'.

Покажем, что это определение является частным случаем общего

определения 1. Для этого нало лишь убедиться, что обратное ото-

бражение R' на R также сохраняет сумму и произведение. Пусть

в R имеем: а' и элементам а.', b', с' при обратном отобра-

жении соответствуют а, Ь, с из R. Нало доказать, что а

Но если с, то из определения 2 следовало бы а' -4-

— d' :-/z с', что противоречит однозначности операции сложе-

ния в R'.

В послелпем рассуждении мы не пользовались аксиомами кольца

1 — VI. Поэтому определение 2 дословно переносится на любые

множества, в каждом из которых задано две алгебраические опера-

ции — сложение и умножение.

Теорема 1. Пусть R и R ' —жнотсества, в л:аяс.Доя нз кото-

рых определены операции сложения н умноэюения. Пусть R изо-

морфно R' (в смысле определения 2). Тогда, если R есть кольцо

(или поле), то н R ' будет кольцом (соответственно полем).

До к аза тел ь ств о. Достаточно убедиться в справедливости для

R' аксиом I—VI или 1— VIII (S 7, определение и S 8, опреде-

ление 1). Во всех случаях (кроме аксиомы VIlI, где доказательство

очевидно) рассуждение совершенно одинаково. Докажем, например,

аксиому III. Пусть а' и b' — элементы R ' и а и Ь— их прообразы

в R. Так как в R аксиома III выполнена, то существует элемент

R такой, что Если с—•с', то в силу изоморфизма также

т. е. с' есть решение уравнения а' Значит,

R' также обладает свойством III. Читателю рекомендуется доказать

справедливость в [2' остальных аксиом.

Вместе с основными свойства.ми при изоморфизме сохраняются и

все другие свойства, являющиеся следствиями основных. Так, при

изоморфизме колец R и R' нулю R соответствует нуль R', и если

R содержит единицу, то и R' содержит единицу, причём она соот-

ветствует единице из В самом деле, из а в R следует