120

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Из определения З следует, очевидно, что М будет подполем и для

Р, и D не входит в М, что невозможно. Итак, D простое пол-

поле Р. Если Г)' — также простое подполе поля Р, то пересечение

D' будет опять подполем поля Р, причём D” и ГУ '

Но из определения З следует, что в таком случае D” будет под-

полем как для D, так и для D', а так как D и D' — простые

подполя, то чем доказана единственность простого

подполя.

S 9. Аксиоматическое построение математики. Изоморфизм

Каждая математическая теория изучает множества с теми или

иными отношениями элементов, обладаю1цими темн или иными свой-

ствами. Содержание теории заключается в определении одних отно-

шений (или понятий) через другие и в доказательстве одних свойств

этих отношений (или понятий) на основании других свойств. Так,

в теории упорядоченных множеств одно из отношений «бочьше» и

«меньше» определяется через другое, с их помощью определяется

понятие «первый элемент» и т. д. (S 5); п теории колец отно-

шение а— Ь и понятие «нуль» определяются через отноше-

нис

Ясно, что определить все понятия и отношения и доказать все

их свойства невозможно по причинам чисто логического характера:

каждое определение лишь сводит данное понятие к другим, а каждое

доказательство лишь выводит данное свойство из других. Прихо-

дится поэтому некоторые отношения (или понятия) оставлять без

определения. Они называются основнылт отношениями или поня-

тиями. Точно так же приходится некоторые свойства этих основных

отношений оставлять без доказательства. Эти свойства называются

основными свойствами или аксиомами. Синсок основных понятий н

аксиом и составляет фундамент данной математической теории, на

котором вся она строится логическими средствами.

Основной особенностью, прџдающей современному построению

математических наук абстрактный характер, является изучение свойств

интересующих нас понятий и отношений в применении к любым

множествам, в которых данные понятия и отношения могут быть

определены. При этом конкретный смысл элементов множеств и все

их конкретные свойства (помимо изучаемых в данной математиче-

ской теории) для данной теории совершенно безразличны. Так именно

было, например, в трёх последних параграфах при определении

группы, кольца и поля как множеств элементов с данными отноше-

ниями (операциями сложения и умножения), обладающими данными

основными свойствами; так обстоит дело при аксиоматическом по-

строении геометрии (см. [8] и где точки, прямые и плоскости —

объекты, природа которых для формального построения геометрии

доверщенно безразлична, лишь Оц между ними бьг определень!