НАТУРАЛЬНЫЕ числА

137

ветствие, сопоставляющее с ЛЮбЫЯИ числами а и Ь число а + Ь

так, что

1) а -4—1 для любого а,

2) а -l-b' Ь)' для любых а и Ь. Иными словами, сложе-

ние всегда выполнимо и однозначно.

Док а за тель ст во. а) Сначала докажем, что при данном а

существует не более чем одно соответствие, сопоставляющее с каж-

дым числом Ь число хь и обладающее свойствами:

для любого Ь. Пусть Л— любое соответствие с теми же свойствами,

т. е. н: а', у, для любого Ь. Пусть М— множество тех

чисел Ь, для которых

А) принадлежит М.

Б) Если Ь принадлежит М, то значит, по аксиоме lI

(хј следовательно, хь, т. е. b' принад-

лежит М. По аксиоме IV М содержит все натуральные числа, т. е.

для любого Ь. Единственность сложения доказана при дан-

ном а. Но по произвольности а она доказана для любых а и Ь.

б) Покажем теперь, что при данном а существует [и согласно

а) только одно] соответствие, сопоставляющее с каждым Ь число

а -4—Ь и обладающее свойствами: а + 1 a-l—b' +b)' для

любого Ь (при данном а). Пусть М— множество тех чисел а, для

которых такое соответствие существует [и по а) только одно].

А) При а положим для любого Ь, что Это соот-

ветствие обладает нужными свойствами, так как

Значит, принадлежит М.

Б) Если а принадлежит М, то число а ФЬ определено и обладает

свойствами: 1 а -4-Ь' —1- Числу Ь поставим в соот-

ветствие число а' -4- Ь Ь)'. Это соответствие обладает нужными

свойствами для 0', так как

Значит, число а' принадлежит М. по аксиоме 1V М содержит все

натуральные числа, т. е. для любого а существует соответствие,

сопоставляющее с каждым Ь число а-[-Ь и обладающее свойствами

для данного а и любого Ь. Но число а является произвольным.

Следовательно, доказано существование и единственность соответ-

ствия, сопоставляющего с любыми а и Ь число a-t-b и обладающее

свойствами 1) и 2). Теорема доказана.

Теорема 2. (Закон ассоциативности сложения.)