144

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Т е о ре ма 5. Единица — наименьшее из натуральных чисел,

т. е. а для любого а.

Доказательство. Если а 1, то по теореме 2 (S 11)

Т е о р е ма 6. Во множестве натуральных чисел выполнена

аксиома Архимеда (S 10, определение З), т. е. для любых а и Ь

существует с, для которого bc а.

Доказательство. Достаточно взять с>а, так как из

ввиду теорем 2 и 4 следует Ьс>а • 1

Т е о р е м а 7. При установленном порядке натуральных чисел

числа а и a-l— являются соседнияи (S 5), т. е. не существует

числа Ь такоео, что а + 1 и, значит, из следует

и из b

Доказательство. Если b>a, то По теореме 5

К >21. По теореме 2 а-+-К>а+ 1, т. е. b»a4-l. По теореме

этим исключается соотношение а -4- Теорема доказана.

Очень часто применяется следующая:

Т е о р е ма 8. Любое непустое „множество А натуральных

чисел содержит наименьшее число, т. е. менышее всех Других чисел

Данного яножества.

Доказательст во. Пусть М— множество тех чисел а. кото-

рые равны или меньше, чем все числа множества А. По теореме 5

1 принадлежит М. Не все числа принадлежат М, так как если Ь

принадлежит множеству А, то число а 1 и не принадле-

жит М- Поэтому множество М должно содержать такое число а,

для которого число а -4- не принадлежит М (иначе по аксиоме lV

М содержало бы все числа). Так как а принадлежит М, то для

любого Ь из А должно быть а 4 Ь. Число а принадлежит А,

так как иначе для любого Ь из А будет и по теореме 7

а -1— С Ь, т. е. принадлежит М, что противоречит выбору

числа а.

На этой теореме основана вторая форма индуктивного доказа-

тельства.

Теорема 9. (Сравнить с теоремой S 11.) Если некоторая

теорема Т Доказана для числа I и в предположении, что она

верна для всех чисел, меньших числа п, где п > 1, Доказана для п,

то она верна для любого п.

Доказательст во. Если теорема Т верна не для всех чисел,

то множество М чисел, для которых она неверна, непусто. По тео-

реме 8 множество М содержит наименьшее число п. Раз п принад-

лежит М, то для п теорема Т неверна и n>l. Но п— наимень-

шее число М, стало быть теорема Т верна для всех чисел, мень-

ших п, и должна быть верна для п, что невозможно.

После введения порядка для натуральных чисел первая форма

индуктивного доказательства, т. е. теорема из S 11, допускает

следующие видоизменения: