126

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОтЯ

Эта теорема показывает, что условия (Х и Х достаточны для

введения порядка в R , причём Х даёт обычную для чисел связь

порядка с операциями кольца.

Теорема 2. (Законы монотонности для сложения

и умножен и я.) Для любых элементов а, Ь, с расположенного

КОЛЬЦа R из а) а а следует соо1пветственно

б) а а * и при соот-

ветственно в) bc, ас ас<Ьс, а при с соответ-

ственно: г) ас<Ьс, ас=:: be, bc.

Доказательство. Если a>b, то

т. е. а -1— с>ЬА-с. Если то по однозначности сло-

жения. Если a

Случай б) доказан.

Если a>b, с то и по условию Х

(а — Ь) с ас — bc bc.

Если с то и по правилу знаков при умножении

[S 7, формула (3)] имеем:

bc — ас (Ь — а) с [— (Ь — а)] с) (а — Ь) (— с) 0,

bc ас, ш: < bc.

Итак, оба первых случая в) и г) доказаны. Остальные случаи

вытекают из первых дословно, как при доказательстве б).

Справедливы также обратные теоремы, а именно:

Теорема З. Из

следует соответственно

Из

Ьс, ас bc, ас bc

следует при ф 0 соотвешс/,чвенно

а при с — соотвениупвенно