130

доказать

откуда

поэтому

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

(З) для случая разности а— Ь.

— а) —1- а по (1) найдём: и

lbl

и lbl—la

lal

Но из а

lbl ь)

b)4-b н

За ме ча ни е. Точно так же известные из элементарной алгебры

правила сравнения и действий над «относительными чиелами» через

сравнение и действия нал их абсолютными величинами остаются

справедливыми для любого расположенного кольца R.

Именно, положительный элемент кольца R больше отрицатель-

ного, что ясно из сравнения с нулём. Из двух положительных эле-

ментов тот больше, абсолютная величина которого больше, ибо

положительные элементы совпадают с их абсолютными величинами.

Из двух отрицательных элементов тот больше, абсолютная величина

которого меньше. В самом деле, если а и Ь отрицательны, то

и поэтому тогда и только

тогда, когда

Если по симметрии с обозначением элемента, противоположного а,

— а обозначить сам элемент а через + а, то каждый

через

элемент можно выразить через его абсолютную величину так:

а а 1, где знак -4- берётся для положительного и

— для от-

рицательного элемента а. В этом смысле можно говорить о знаке

данного элемента. Тогда имеют место следующие правила действий.

Чтобы сложить два элемента одного знака, нало сложить их

абсолютные величины и поставить тот знак, который имели слагае-

мые. В самом деле, если и Ь то эго очевидно; если же

—(lal+lbl)•

и то

Чтобы сложить два элемента разных знаков, нало из большей

абсолютной величины вычесть меньшую (при равенстве абсолютных

величин сумма равна нулю) и поставить знак того слагаемого,

у которого абсолютная величина больше. Пусть и 0.

Если 1 al>lbl, то

Если же то

—(lbl

Чтобы из одного элемента вычесть другой, надо к первому

элементу прибавить элемент, противоположный второму. Это верно

даже для любых колец.