ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

121

основные отношения («точка лежит на и т. п.), удовлетво-

ряющие основным условиям (аксиомам геометрии).

Но если так, то можно думать, что существует не одна, а много

теорий колец и полей, не одна, а много различных геометрий в за-

висимости от того, какое конкретное множество положено в основу

данной теории. Выход из этого затруднения следует, однако, уже

из сказанного выше и заключается в точном определении содержа-

ния данной математической теории. Ведь данная теория, как было

указано, изучает не все свойства элементов множества, а лишь те

из них, которые относятся к основным отношениям, заданным для

этих элементов, и которые вытекают из основных свойств (аксиом),

которым подчиняются основные отношения. Все остальные свойства

(сами по себе, может быть, весьма важные) просто не являются

предметом изучения в данной теории. Она абстрагируется от этих

свойств. ГТоэтому все множества, для элементов которых определены

(для каждого множества по-своему, на основе конкретных свойств

его элементов) основные отношения и у которых все свойства этих

отношений одинаковы, с точки зрения данной теории неразличимы

между собой.

Но так как основные отношения определяются для каждого мно-

жества, исходя из конкретных свойств его элементов, то, изучая

в абстрактной форме свойства основных отношений, данная теория

изучает, таким образом, некоторые конкретные свойства целого

класса конкретных множеств. Это диалектическое единство абстракт-

пого и конкретного свойственно всякой науке, но в математике оно

проявляется, пожалуй наиболее ярко. Конечно. математика изучает

не все свойства материальных тел, а лишь те из этих свойств,

которые поддаются количественной оценке или пространственному

описанию. Основные для всей математики понятия числа и фигуры

являются абстрактным выражением именно этих свойств материаль-

пых тел. Таким образом, несмотря на абстрактный характер построе-

ния современной математики, для неё остаётся в силе определение,

данное Энгельсом 1):

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные

формы и количественные отношения действительного мира, с гало

быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал

принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо зату-

шевать его проискождение из внешнего мира».

Понятие множеств, имеющих одинаковые свойства отношений

между их элементами и поэтому неразличимых в рамках данной

математической теории, получает точное выражение в следующем

общем понятии изоморфизма:

Определение 1. Два яножеттва А4 н М', в каэюДол из ко-

торы-м определены отношения элементов, образующие некоторую

1) Ф. Э п ге л ь с, Лпти-Дюринг, 1918, стр. 37.