НАТУРЛЛЬНЫЕ ЧИСЛА

141

данном а). П) сгь М— множество тех чисел а, для которых такое

соответствие существует [и по а) только одно].

А) При положим для любого Ь, что Это соответ-

ствие обладает нужными свойствами, так как

а ab' 1 4- а;

1 принадлежит М.

Б) Если а принадлежит М, то любому Ь соотве тствует ab, при-

чём а ab' -4— а. Для а' строим такое соответствие:

числу Ь соответствует число а' • Ь 4- Ь. Оно обладает нужными

свействами, так как

а' принадлежит М. Соответствие с нужными свойствами построе-

но при любом а для каждого Ь, т. е. для любых а и Ь. Теорема

доказана-

Теорема 2. (П р а вый закон дистрибутивности.)

(а 4- Ь) с ас 4- bc.

Доказа тель ст во. Для данных а и Ь применим индукцию

по с.

А) = а • —1— • для с ¯

— 1 теорема верна.

Б) Если теорема верна для с, то (а + Ь)

Используя ассоциативность и коммутативность сложения, находим:

т. е. теорема верна и для с'. По аксиоме IV теорема доказана.

Теорема З. (Закон коммутативности умножения.)

ab ba.

Доказательство. а) Индукцией по Ь докажем теорему при

1, т. е. 1 1; М— множество Ь с этим свойством.

А) принадлежит М. Б) Если I • 1, то

b' принадлежит М.

б) Индукцией по а докажем, что ab при данном Ь;

множество а с

А) Согласно а) 1 принадлежит М.

м—