122

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

систему отношений S, называются изоморфными (запись М СУ М')

относительно Данной системы отношений (короче просто изо-

морфными), если летсДу наян существует взаимно однозначное

С001пветствие, сохраняюшее все отнОИ[ення S т. е.

кое, что если любые эле.1[енты М находятся в любом из отно-

шений системы S, то соответствую!цие ия элементы М' нахо-

дятся в том же отношении, н обратно.

Можно сказать, что аксиоматическая теория изучает множества

лишь с точностью ло изоморфизма относительно системы основных

отношений данной теории.

Понятие изоморфизма обладает, очевидно, тремя основными свой-

ствами:

2) если М2<М', то М'одМ,

3) если МО<М' и М'=М”, то мсм

Например, в случае отсутствия каких-либо отношений (в случае,

когда система отноптений S есть пустое множество) определение 1

обращается в определение эквивалентности (S З), а в случае одного

отношения «а предшествует Ь» при выполнении соответствующих

аксиом— в отношение подобия (S 5).

То, что понятие изоморфизма действительно выражает одинако-

вость всех рассматриваемых свойств множеств, можно формулиро-

вать в виде следующего об1цего положения:

Если лнотсества М н М' изоморфны относительно некоторой

системы отношений S, то любое свойство множества М, форму-

лированное в терминах отношений системы S (и, значит, и отно-

шений, определяемых через отношения системы S), переносится на

лнотсество М', и обратно.

Разберём это положение на конкретном примере.

Пусть в множествах М и М' определено отношение «больше».

и они изоморфны относительно этого отношения; тогда, если М

упорядочено, т. е. если в М выполнены свойства 1) и 2) из S 5, то

они выполнены и в М'.

Докажем свойство 1). Пусть а' и b'— элементы М' и а и Ь—

соответствующие элементы М. В силу условия 1) в М выполнено

одно из соотношений а а Ь Отображение М на ЛТ

сохраняет отношение «больше». Значит, выполнено одно из соот-

ношений а' а' >b', b' >а'. Если бы в М' выполнялось более

одного из них, то из сохранения отношения «больше» при отобра-

жении М' на М следовало бы выполнение более одного отношения

для а и Ь, что противоречит условию 1).

Докажем свойство 2). Если a'>b' и 0' >с,', то также а и

b>c. В самом деле, в М должно быть а>с. Значит, а'

с'.

Займёмся теперь изоморфизмом групп колец и полей. Ввиду того,

что здесь отношения а и abz=c удовлетворяют дополни-

тельным требованиям, что для любых и О существует одно и