124

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТЗА, ГРУППЫ, КОДЬШ•,

а в R' и из а. 1 в R следует

л:обого элемента а' из R.

Большое значение при построении числовых

Следующая, почти очевидная:

и поля

а' • в R' дая

полей будет иметь

Т е ор е ма 2. Пусть R — подкольцо кольца S и R ' — кольцо,

изоморфное R и не имеющее общих элементов с S. Тогда для лю-

бого Данного изо морфного отображения f кольца R на R' су:це-

ствует кольцо S, содержащее в качестве подкольца R ' и пзояорф-

ное кольцу S, причёл сущесјпвует изоморфное отображение д

1СО.И,ца S на S , созпадающее на R с Данным отображением f, т. е.

такое, что д (а)== f(a) для любого элемента а rt3 1?. Если S —

поле, то и S' будем полем. Если R — подполе S, шо и R ' под-

поле S.

Доказа тель ст в о. Пусть S' — множество. полученное 11,3 S

путём замены элементов R на элементы R', т. е. U R'.

Строим такое отображение д множества S на S: если а € S R R , то

положим д(а)==а; если а € R , то положим где f(a)—

элемент R', соответс гвующий а при данном изоморфизме f.

Так как f— взаимно очнозначное отображение R на R', Д—

взаимно однозначное отображение S R на себя и множества S и

R' не имеют общих элементов (достаточно даже, чтобы SN R и R'

не имели общих элемен гоп), то д является взаимно однозначным

отображением S на S'.

Операции сложения и љумножения в S' определи.м через операции

в S путём перенесения их в S' с помощью отображения д, т. е.

положим

Д (а) 4- Д (Ь) Ч- Ь), д (а) д (Ь) (ab)

(1)

для любых элементов а и Ь из S. Так как в силу взаимной одно-

значности отображения д для любого а' из S супоствует один и

только один элемент а из S такой, что д(а)==а', то д (а) и д (Ь) —

любые элементы S , и равенства (1) действи тельно определяют алге-

браические операции в 8'.

Одновременно равенс гва (1) показывают, что относительно сло-

жения и умножения S' изоморфно S и по предыдущей теореме S—

кольцо. Если то и S' — поле.

Покажем, что операции в S' для эле.ментов R' совпадают с опе-

рациями, заданными в кольце R'. Так как f— изоморфное отобра-

жение R на R', то справедливы равенства

f (а) (Ь) (а + ь), (ь) (ab)

для любых а и Ь 113 R.

(2)

Но если в (1) д (а) и д(ћ) принадлежат R', то а, Ь, а 4- Ь и ab

принадлежат R , и но построению отображения Д равенства (1) со•