НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

139

что снова противоречит теореме 4. Докажем, что хотя бы один из

этих случаев всегда имеет место.

Пусть выбрано число а, и М— множество тех Ь, для каждого

из которых при данном а имеет место 1), 2) или З). А) Если 1,

то имеем случай 1) для Ь 1. Если а 74: 1, то по теореме 2 из S

т. е. имеем случай 2) для Ь Итак,

принадлежит М. Б) Пусть Ь „принадлежит М. Тогда или а

и следовательно, 1 1, т. е. случай З) для b'; или

и если 1, то т. е. случай 1) для b';

если же 1, то и

т. е. случаи 2) для b'; или и

т. е. случай З) для b'. Во всех случаях b' принадлежит М. Теорема

доказана.

Пользуяс.ь этой теоремой, можно было бы уже теперь дать опре-

деление порядка и доказать основные его свойства (см. S 14), но

мы рассмотрим сначала свойства умножения, чтобы затем сразу

рассмотреть связь понятия порядка с обеими основными операциями.

Зад а ч а. Определив натуральные числа

доказать на основании определения суммы, что

S 13. Умножение

О п р е д е л е ни е. Уяноусением натуральных чисел называется

такое соответствие, которое с каждой парой натуральных чисел а

и Ь сопоставляет одно и только одно натуральное число ab (или а • Ь

или а Х Ь), обладающее следующими свойствами:

1) а • 1 для любого а;

2) ab' для любых а и Ь.

Число а называется жнотсилыя, Ь — множителем, оба числа

а и Ь называются также сомножителями, а число ab — произ-

ведением.

На первый взгляд может показаться странным, зачем давать это

ин дук ти в ное определение, вместо того чтобы остаться при всем

известном школьном определении произведения ab как суммы Ь

слагаемых, каждое из которых равно множимому а. Но что означает

выражение «Ь слагаемых». где Ь выступает в роли количеств ен-

н ого числительного? Количество слагаемых имеет лишь один

точный смысл, именно, — это мощность множества