128

ПОНЯ ТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КО чьц,А, И ПОЛЯ

Т е о рема (5. (см. S 8, определение 2) рас-

положенного поля Р равна нулю.

Доказательство. Пусть а $0, а (Р. Если а то 110

свопству Х для любого натурального п также па а так как

то паз: 0 при любом целом п. Ес:ш а то

и п(—а) 0, при любом цело.м п. Значит, па $0, если

Теорема 7. Сумма квадратов (и, в частности, всякий квад-

рат) КОНЕЧНОГО число элементов расположенного кольцо больше

или равна нулю, причёл равенство ЖОЭјсе1П иметь лесто лишь

в тоя случае, когда все Данные элементы равны нулю.

0, то

Доказа тель ст во. Для одного элемента, если а]

и тогда

или

0. Если же ат 0, то или а]

Для н— 1 теорема верна. Пусть она верна для п элементов.

Тогда

о,

как сумма неотрица тельных слагаемых (см. свойство Х). Если одно

из двух слагаемых то и сумма их Значит, в случае ра-

вене ква нулю оба слагаемых равны нулю, т. е.

Отсюда по доказанному и по предположению индукции

—0.

О р е д ел е ние 2. Абсолютной величиной элемента а рас-

положенного кольца (и, в частности, поля) называется неошрн-

цатем,ный из эле.иентов а н — а. Абсолютная величина элеяента а

обозначается церез а 1.

Согласно этому и при а $0 всегда

Т е о р е ма 8. Абсолютная величина суялы конечного числа

элеиентов леньше или равна сумме абсолютных величин слагае-

лых. При этом равенство имеет лесто тогда н только тогда,

когда все слагаемые неположиупеяьны или все неотрщате.ЉНЫ.

Абсолюјпная величина произведения конечного числа элементов

равна произведению абсолютных велицнн сомножителей.

До к а за тель с т в о. Ограничимся случаем двух элементов, так

как проведение индукции не представляет затруднений. Итак, надо

доказать,

(1)