146

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И поля

обладающей двумя свойствами: 1) известно значение функции для

[в случае сложения в случае умножения

2) дано рекуррентное соотношение, однозначно определяющее зна-

чение функции для любого числа, отличного от 1, через её значе-

ние для предыдущего числа (в случае сложения

в случае умножения 4- а).

По поводу определения сложения мы уже указывали (S 12),

что такое определение ещё не доказывает (простым применением

аксиомы индукции IV) существования и единственности функции / (Ь)

с указанными свойствами 1) и 2). Однако существование и един-

ственность были доказаны разными путями как для сложения, так

и для умножения. После определения порядка натуральных чисел

можно доказать законность индуктивных определений и притом

более общего типа, чем в случае сложения и умножения. А именно:

Опре деле ние 1. Индуктивным определением (или построе-

нием) функции f(a) на множестве натуральных чисел называется

её определение по следующим двуя свойствам:

1) задано значение функции для числа 1;

2) значение функции / (а) для натурального числа одно-

значно выра.ясено через её значения (Ь) для натуральных чисел

Ь при помощи Данной системы S рекуррентных соотношений.

Отметим, что значения определяемой индуктивно функции / (а)

вовсе не обязательно должны быть натуральными числами. Они мо-

гут быть элементами некоторого кольца или вообще некоторого

множества А, причём между его элементами определены отношения,

при которых имеют смысл рекуррентные соотношения системы S.

Что индуктивное определение действительно определяет (и при-

том однозначно) функцию f(a), показывает следующая:

Теорема 1. (Теорема о законности индуктивного

о п ред ел е ни я.) При Данной системе S рекуррентных соотно-

шений существует одна и только одна функция (а), заданная

на жнотсестве всех натуральных чисел н обладающая свойствами

1) и 2), указанными в определении 1.

Докажем сначала такую лемму:

Ле мм а. Пусть Даны: а) натуральное число п, б) элемент х-1

некоторого янотсества А, в) при п 1 система S рекуррентных

соотношений, которая для любого натурального числа а (где

1 и любых элементов хь (где b

значно определяет элемент х того же янотсества А 1).

Тогда существует одна н только одна функция (а), задан-

ная на отрезке2) 1, п значения которой принадлежат множе-

1) При этом для а ч— п рекуррентные соотношения могут вообще не

задаваться.

я) Отрезком натурального ряда (согласно определению из S 4) назы-

вается множество 1, nl натуральных чисел а