118

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

числа, лаюпше при делении на п один и тот же остаток. Если класс

чисел, дающих при делении на п остаток r, обозначить через (r),

то мы получим всего п различных классов: (0), (1), (2), .

Очевидно, что два числа а и Ь тогда и только тогда принадлежат

к одному классу, когда их разность а—Ь делится на п 1). Пусть Сп

множество всех определённых таким образом классов целых чисел.

Определим в Сп операции сложения и умножения. Если (r) и (s)—

два класса, причём класс (r) содержит число а и (s) — число Ь, то

суммой (r) 4-(s) данных классов назовём класс, содержащий число

а -4- Ь. и произведением (r) • (s) — класс, содержащий число ab. Сумма

и произведение классов определены однозначно, т. е. не зависят

от выбора представителей а и Ь этих классов. В самом деле, если

а и а' — два числа из класса (r) и Ь и b' — два числа из класса (.s).

то числа а—а' и b—b' делятся на п. Поэтому также

и

ab — a'b' (ab — a'b) -4- (a'b — a'b') (а — а') Ь -4— а' (Ь — b')

делятся на п. Но это значит, что числа а-[-Ь и а' -}-b' принадлежат

к одному классу и то же верно для чисел ab и a'b'.

Свойства кольца I—VI (S 7, определение 1) для классов авто-

матически вьшолняются, так как эти свойства верны для целых чи-

сел, и операции над классами определены через операции над пред-

ставителя.ми. Итак, с п является кольцом. Оно называется кольцом

вычетов по модулю п. Нулём кольца Сп является, очевидно, класс (0),

состоящий из всех чисел, делящихся на п.

Если число составное, то кольцо Сп содержит делитель

нуля, так как (К) (0) и (l) (0), но (К) • Если же п

число простое, то кольцо С не имеет делителей нуля, так как, если

==(0), то rs делится на р, и значит, либо г, либо s делится

на р, т. е. либо (r) либо (s)==().

Так как кольцо С содержит р элементов и, значит, конечно,

то по теореме 2 оно будет полем. Класс p(r) содержит число pr,

делящееся на р. Поэтому р • (0) для любого класса (r) поля Ср.

Значит, р— характеристика поля С .

Подполе. Простое поле. Определ е ние З. Множество М

помя Р называется подполем Р, если оно сажо является полем

при тех же операциях сложения и умножения, которые за-

даны в поле Р. Тогда Р называется надполеж или расширением

поля М.

Так, поле рациональнь:х чисел является подполем поля действи-

тельных чисел, а последнее — подполем поля комплексных чисел.

1) По существу мы имеем здесь дело со сравнениями по модулю п (см.

дтатью А. Я. Хиичина в этой книге),