МНОЖЕСТВА

91

число элементов, Поэтому число элементов можно принять за опре-

деление мощности конечного множества.

Т е о р е м а З. Любое подмножество конечного лноэюества салю

конечно. Любое надмножество бесконечного лнажеспгва салю бес-

конечно.

Док ав а те л ь ст в о. Каждое из двух утверждений теоремы следует

из другого. Так, если первое утверждение верно, то верно и второе, так

как если А бесконечно и А с В, то и В бесконечно, ибо если бы В было

конечно, то по первой половине теоремы и А было бы конечно. До-

статочно поэтому доказать первое утверждение. Итак, пусть А конечно

и ВС А. Если то и теорема справедлива. Пусть А о 0.

Тогда А г— 1, п ( для некоторого натурального числа п. Применим

индукцию относительно п. При теорема верна, так как А

содержит один элемент, и либо В либо Пусть утвер-

ждение верно для некоторого п. Докажем его для числа п -Е 1.

Итак, пусть у— в.заимно однозначное отображение А на отрезок

1, п -Е 1 1. Если то В конечно. Пусть В с: А. Существует

элемент ае А Х В. Можно считать, что Иначе

1, где а' € А, а' а. Если тогда f(a) то строим

новое отображение Л, полагая Л Л и

для остальных элементов множества А. И гак, пусть 1.

Положим А' а г. Тогда f определяет взаимно однозначное

отображение множества А' на отрезок 1, п „ и ВсА'. Следова-

тельно, по предположению индукции В конечно. Теорема доказана.

Согласно теореме З понятие о числе элементов имеет смысл для

любого подмножества данного конечного множества. При этом имеет

место

Т е о р е м а 4. Число элементов конечного яно.жества А всегда

больше числа элементов его собственного подмножества В.

Доказательс т во. Пусть т— число элементов А и п—

число элементов В. Предположим, что п>зт. Так как АэВ, то

А # О, и А о— | 1, т . Также и следовательно,

(1)

При взаимно однозначном отображении А на отрезок 1, т] мно-

жество В отображается также взаимно однозначно на некоторое

собственное подмножество В' отрезка 1, т], таким образом,

Из В'с' 1, и гп<п следует:

Но из (1) и (2) вытекает В' 1, п Ь что в силу

речит теореме 1, ибо отрезок 1, п ] оказывается

своему собственному подмножеству В'.

(2)

(3)

(З) противо-

равномощным